Alessandro Carlotto erhält Latsis-Preis

In seiner Forschung bewegt sich Alessandro Carlotto oft an der Grenze zwischen Mathematik und Physik: Seine Perspektive ist die der geometrischen Analysis, die ¨C vereinfacht gesagt ¨C Werkzeuge der mathematischen Analysis einsetzt, um die Gestalt von Objekten im Raum zu untersuchen und wie sie sich mit der Zeit und unter dem Einfluss der Kr¨¹mmung verformen. Alessandro Carlotto gilt in diesem Forschungsgebiet als aufstrebender Star und ?der beste junge Forscher in Kontinentaleuropa?. Nun wird Alessandro Carlotto am ETH-Tag den Latsis-Preis der ETH Z¨¹rich 2022 erhalten.

Der Preis w¨¹rdigt, dass der italienische Mathematiker eine sehr eigenst?ndige und reichhaltige Forschungsagenda verfolgt, ein ausgezeichneter Dozent ist, und nicht zuletzt 2020 auch einen ERC Starting Grant erhalten hat, der als ein G¨¹tesiegel exzellenter Forschung gilt. In ihrer Laudatio begr¨¹ndet die ETH-Forschungskommission Carlottos Auszeichnung wie folgt: ?Seine tiefgreifenden und h?chst originellen Ergebnisse decken ein breites Spektrum von der Differentialgeometrie bis zur allgemeinen Relativit?tstheorie ab. Seine wissenschaftliche Arbeit hat nicht nur einen starken Einfluss auf die Mathematik, in der er zahlreiche, seit langem bestehende Probleme angepackt hat, sondern auch auf die Theoretische Physik.?

Modelle der Physik zu Ende denken

Tats?chlich sind Albert Einsteins Allgemeine Relativit?tstheorie und mathematische Probleme aus der Physik eine Inspiration f¨¹r Carlotto: ?Das Zusammenspiel von Mathematik und Physik fasziniert mich sehr, und mir gef?llt die Vorhersagekraft des mathematischen Denkens.? In seiner Forschung beginnt er in der Regel mit einem gegebenen physikalischen Modell, das bestimmte Naturph?nomene beschreibt. Im Unterschied zu einer Physikerin oder einem Physiker befasst er sich jedoch weniger damit, ein jeweiliges Modell anhand empirischer Daten zu ¨¹berpr¨¹fen oder zu verfeinern, sondern er untersucht ¨C allein mit der Kraft der Abstraktion ¨C, welche mathematischen Konsequenzen sich daraus ergeben und was die daraus hergeleiteten Ergebnisse ¨¹ber die entsprechenden Ph?nomene aussagen.

Diesem Ansatz folgend, hat er ¨C gemeinsam mit seinem Doktorvater, dem Heinz-Hopf-Preistr?ger von 2017, Richard M. Schoen von der Stanford University und der University of California, Irvine ¨C neuartige, sogenannte lokalisierte L?sungen der Einstein¡¯schen Feldgleichungen entdeckt. Diese Gleichungen beschreiben die Gravitationskr?fte im Rahmen der allgemeinen Relativit?tstheorie. Diese Theorie ist inzwischen gut etabliert. 100 Jahre nach der Ver?ffentlichung der Allgemeinen Relativit?tstheorie von Albert Einstein konnten Carlotto und Schoen 2015 streng beweisen, dass es Raumzeiten gibt, die die Einstein¡¯schen Feldgleichungen erf¨¹llen, und die grosse, unbegrenzte Regionen haben, in denen keine Gravitation sp¨¹rbar ist, w?hrend sie zugleich Regionen mit schwarzen L?chern enthalten, in denen daher extrem starke Gravitationskr?fte wirken. In der Forschung wird dieses Ph?nomen als Abschirmung der Gravitation bezeichnet, weil die Objekte in den erstgenannten Regionen vollst?ndig gegen den Einfluss des Gravitationsfeldes der letztgenannten Regionen abgeschirmt sind. In der klassischen Newton¡¯schen Feldtheorie ist das unm?glich.

Carlotto und Schoens Ergebnis veranschaulicht die besagte Vorhersagekraft der Mathematik, da ihre Arbeit die Gravitationsabschirmung vorstellt, bevor es ein anerkanntes, wiederholbares Experiment gibt, das sie empirisch nachweisen k?nnte. ?Unsere L?sungen stimmen mit den Axiomen der Allgemeinen Relativit?tstheorie vollkommen ¨¹berein. Sie weisen jedoch explizit neue Ph?nomene auf, und zwar in einer Weise, die sehr ¨¹berraschend und kontraintuitiv ist?, sagt Carlotto.

R?tselhafte Formen und Kr¨¹mmung

Durchwegs wesentlich f¨¹r seine Forschung sind ¨C trotz der Vielfalt der Themen ¨C die Begriffe Form und Kr¨¹mmung. Im einfachsten Sinn verstehen Mathematiker unter Kr¨¹mmung die lokale Abweichung einer Kurve von einer Geraden. Im dreidimensionalen Raum, mit dem die Menschen im Alltag vertraut sind, haben zum Beispiel die Oberfl?che einer Kugel eine konstante Kr¨¹mmung (im Unterschied zu der eines Doughnuts) und ebenso die Ebene (mit dem Unterschied, dass die Kugel positiv gekr¨¹mmt ist).

In der Mathematik ist es naheliegend und fast notwendig, von zweidimensionalen R?umen zu h?herdimensionalen R?umen zu abstrahieren und verallgemeinerte Kr¨¹mmungsbegriffe f¨¹r Gegenst?nde mit drei oder mehr Dimensionen zu formulieren. Auch hierzu bietet Albert Einstein gute Anregung: Der Physik-Nobelpreistr?ger von 1921 beschrieb ebenfalls mit der Sprache der Differentialgeometrie die Kr¨¹mmung der Raumzeit, die in der Tat der vierdimensionale ?Schauplatz? ist, auf dem sich die Ereignisse abspielen, und damit der Hintergrund f¨¹r seine ber¨¹hmte Theorie der Gravitation. Weitere gute Gr¨¹nde, um zu h?heren Dimensionen aufzusteigen, liefern die Stringtheorie sowie andere Theorien der heutigen Physik. ?In diesen h?heren Dimensionen sind die Dinge in vielerlei Hinsicht noch r?tselhaft?, sagt Carlotto.

Von allen Begriffen der Kr¨¹mmung, das heisst von allen M?glichkeiten, die Form von R?umen (gleich welcher Dimension) zu messen, favorisiert Carlotto die sogenannte Skalarkr¨¹mmung. Sie ist der Gegenstand in zwei seiner j¨¹ngsten, einflussreichen Arbeiten. ?In letzter Zeit habe ich viel ¨¹ber ?L?sungsr?ume? f¨¹r bestimmte geometrische Probleme nachgedacht und dar¨¹ber, wie sie ?im Grossen? aussehen?, legt Carlotto dar.

2021 schloss er zum Beispiel ein vier Jahre dauerndes Projekt mit Chao Li ab, einem Forscher des Courant Instituts an der New York University. Sie bewiesen ¨C aufbauend auf den Pionierarbeiten vieler Forscher (namentlich Hamilton, Perelman, Kleiner, Lott, Bamler) ¨C, dass auf jeder kompakten dreidimensionalen Mannigfaltigkeit der Raum der Metriken positiver Skalarkr¨¹mmung mit minimalem Rand entweder leer oder zusammenziehbar ist. ?Mit einfachen Worten: Verformungen, die diese von der Kr¨¹mmung vorgegebenen Einschr?nkungen respektieren, sind im st?rkstm?glichen Sinne ungehindert. In diesem Beweis kommen viele der Werkzeuge zum Einsatz, die ich in meiner Laufbahn erlernt habe?, erkl?rt Carlotto.

Das Geheimnis der Grenzfl?chen

Carlottos Forschung beschr?nkt sich nicht auf die mathematische Physik: ?Mich reizt es, immer wieder ¨¹ber neue Probleme nachzudenken?, sagt er, ?und wie Albert Einstein denke ich, dass der wissenschaftliche Fortschritt eine opportunistische Einstellung erfordert.?

In den letzten Jahren hat sich sein Forschungsinteresse auf verschiedene klassische Themen und Probleme der Differentialgeometrie erstreckt. So hat er die sogenannten Minimalfl?chen eingehend untersucht, deren veranschaulichendes Modell die Seifenh?ute sind. Klassischerweise stellen sie Fl?chen dar, die den Fl?cheninhalt (in etwa vergleichbar mit der ?elastischen Energie?) von allen Oberfl?chen mit demselben Rand so klein wie m?glich machen.

Derartige Minimalfl?chen und ?hnliche Grenzfl?chen treten auch in anderen Zusammenh?ngen auf. Betrachten wir das folgende idealisierte Modell: zwei nicht mischbare Fl¨¹ssigkeiten sind in einem kugelf?rmigen Beh?lter, die jeweils die H?lfte des Volumens ausmachen, und nehmen wir an, die Schwerkraft sei im Vergleich zu den anderen wirkenden Kr?ften vernachl?ssigbar. In solch einem Fall gibt es energetisch optimale Grenzfl?chen, die die Fl¨¹ssigkeiten trennen. In einem Fischglas, das zu gleichen Teilen mit Luft und Wasser gef¨¹llt ist, w?re die einfachste Grenzfl?che (n?mlich die mit der kleinstm?glichen Fl?che) eine flache Scheibe, die durch die Mitte des Glases verl?uft.

Mathematikerinnen und Mathematiker fragen nun: Welche Gleichgewichtskonfigurationen sind m?glich, und welche Formen k?nnen diese Grenzfl?chen haben? Die Frage, wie m?gliche andere, ?exotische? Grenzfl?chen aussehen k?nnen, besch?ftigt die Mathematikerinnen und Mathematiker seit fast 40 Jahren. 2020 haben Alessandro Carlotto, Giada Franz und Mario Schulz dieses Problem gel?st und bewiesen, dass es in einer euklidischen Kugel tats?chlich unendlich viele weitere, komplexe Gleichgewichtszust?nde gibt. Deren Grenzfl?chen werden von Minimalfl?chen mit zusammenh?ngendem Rand auf der Oberfl?che der Kugel und einer beliebigen Anzahl von ?Henkeln? gebildet. Mario Schulz, einer von Carlottos engsten Mitarbeitern und Alumnus der ETH Z¨¹rich, hat genaue numerische Ann?herungen an solche Oberfl?chen entwickelt, die sich unter anderem mit einem 3D-Drucker ausdrucken lassen und so konkrete, anfassbare Modelle f¨¹r solche exotisch anmutenden Oberfl?chen liefern (siehe Bilder unten).

Wie der Fields-Medaillen-Tr?ger von 2018, Alessio Figalli, hat Alessandro Carlotto die Scuola Normale Superiore in Pisa absolviert: ?La Normale - wie wir auf Italienisch oft sagen - ist ein ganz besonderer Ort, der mein Leben in vielerlei Hinsicht ver?ndert hat.?

Der emeritierte Mathematikprofessor Michael Struwe ?ussert sich zu Carlottos Auszeichnung wie folgt: ?Alessandro ist in seinem noch recht jungen Alter bereits ein vollendeter Mathematiker. Er hat einen umfassenden ?berblick nicht nur ¨¹ber das Gebiet der Geometrischen Analysis, sondern auch ¨¹ber die moderne Mathematik insgesamt, die eine seiner Leidenschaften ist?, und er f¨¹gt hinzu: ?Alessandro leistet wertvolle Dienste f¨¹r das Departement. Seine sehr engagierte Rolle als akademischer Lehrer wird vielleicht am besten dadurch veranschaulicht, dass er, in Anerkennung der Hilfe, die er den Studierenden in den schwierigsten Phasen der Pandemie zukommen liess, und angesichts des ¨¹berw?ltigend positiven Feedbacks auf sein Engagement, eingeladen wurde, in der Reihe ?Refresh Teaching? der ehemaligen Rektorin Sarah Springman einen Vortrag zum Thema ?Connecting to your students? zu halten.?

Carlotto war 2015 als Junior Fellow des Instituts f¨¹r Theoretische Studien an die ETH Z¨¹rich gekommen. Im Mai 2016 ernannte ihn der ETH-Rat zum Assistenzprofessor f¨¹r Mathematik. Ende August 2022 ist er nun nach Italien zur¨¹ckgekehrt, um eine Professur an der Universit¨¤ degli Studi di Trento anzutreten.