Turbulente Angelegenheiten: Wie Forschende Schockwellen besser simulieren

Dennoch: Streng genommen sind diese Methoden nicht mathematisch pr?zis. Und: F¨¹r einige Ph?nomene sind sie an ihre Grenzen gestossen. ?Normalerweise w¨¹rde man erwarten, dass eine h?here Aufl?sung genauere Ergebnisse liefert?, sagt Mishra. Anders gesagt: Bezieht man in eine Berechnung mehr einzelne Punkte aus Zeit und Raum ein, sollte der Fehler eigentlich kleiner werden und die berechneten N?herungswerte sollten die Realit?t besser abbilden. Doch bei stark turbulenten Fl¨¹ssigkeiten funktioniert das nicht, wie Mishra zeigte. Im Gegenteil: Bei hoher Aufl?sung erzielte Ergebnisse stimmen dann ¨¹berhaupt nicht mit den Ergebnissen von schw?cher aufgel?sten Berechnungen ¨¹berein ¨C sie konvergieren nicht, wie der Mathematiker sagt, sondern sehen komplett anders aus. ?Das bedeutet auch, dass sich f¨¹r solche Ph?nomene keine Vorhersagen berechnen lassen.?

?usserst n¨¹tzlich: zuf?llige St?rungen

Darum haben Mishra und sein Team nach einer M?glichkeit gesucht, diese Schwierigkeiten beim Simulieren stark turbulenter Str?me zu ¨¹berwinden, und zwar mit sogenannten statistischen L?sungen. Dazu haben die Forschenden das Problem ?randomisiert?, also den Zufall ber¨¹cksichtigt: Sie erzeugten in den untersuchten Str?mungen viele winzige, zuf?llige St?rungen ¨C und analysierten dann das gemittelte Ergebnis. ?Das ist die Grundlage f¨¹r statistische L?sungen?, erkl?rt Mishra. ?Wenn sich einzelne Messungen oder Experimente nicht konvergent verhalten, kann man sich stattdessen Durchschnittswerte anschauen.? Einfach ausgedr¨¹ckt: ?Bei turbulenten Str?mungen sind die Details das Problem. Deshalb sieht man mit Durchschnittswerten mehr Struktur.?

Damit nicht genug: Zus?tzlich m¨¹sse man auch ber¨¹cksichtigen, dass die statistischen Eigenschaften von Str?mungen an verschiedenen Orten im Raum voneinander abh?ngig seien, wie Mishra erkl?rt. Zum Beispiel beim Wetter: Die Temperatur in Z¨¹rich wirkt sich nicht nur auf nahe gelegene, sondern auch auf weit entfernte Orte aus, etwa auf die Temperatur in M¨¹nchen. ?Darum m¨¹ssen wir anstelle einzelner Punkte die Korrelationen zwischen den Punkten untersuchen?, sagt Mishra.

L?sung f¨¹r turbulente und explosive Probleme

Soweit die Theorie. Wie sieht das nun in der Praxis aus? ?Wir k?nnen solche statistischen L?sungen berechnen?, sagt Mishra. Tats?chlich konvergierten die berechneten Mittelwerte nun mit h?herer Aufl?sung, wie das Team erkannte. Und: Das galt nicht nur f¨¹r spezifische Gr?ssen, etwa die Dichte oder die Geschwindigkeit einer Str?mung, sondern auch f¨¹r die statistischen Abweichungen dieser Gr?ssen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung. ?Bislang hat jede unserer Testsimulationen mit vereinfachten, zweidimensionalen Str?mungen funktioniert.? Ob Mittelwerte, Abweichungen, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Korrelationen ¨Calle statistischen Werte konvergieren, und die erhaltenen L?sungen sind stabil.

Nach diesen ersten 2-D-Simulationen f¨¹hrte Mishras Team mithilfe des Supercomputers ?Piz Daint? am CSCS in Lugano Simulationen in 3-D durch. J¨¹ngst haben die Forschenden ihren Code optimiert, sodass sie die Simulationen auf ?Piz Daint? um mehr als das Zehnfache beschleunigen konnten.

In den Simulationen wurden auf die Str?mungen zun?chst virtuell bestimmte Scherkr?fte ausge¨¹bt, um die Entstehung von sogenannten Kelvin-Helmholz-Instabilit?ten zu simulieren. Diese f¨¹hren zu spezifischen Wirbeln, wie sie beispielsweise im kr?uselnden Rauch einer Kerze sichtbar sind, ebenso in bestimmten Wolkenformationen oder in Gasen in der Atmosph?re von Planeten. Auch hier zeigten die Ergebnisse: Betrachten die Forschenden einzelne Simulationen, ist keine Konvergenz zu erkennen. ?Arbeiten wir aber mit den statistischen Eigenschaften zahlreicher Simulationen, wie Mittelwerte, Abweichungen und Wahrscheinlichkeiten, konvergieren die L?sungen?, best?tigt Mishra.

Von der Hypothese zum mathematischen Theorem

K¨¹rzlich f¨¹hrte sein Team auf ?Piz Daint? ?hnliche Simulationen eines anderen Ph?nomens durch, die sogenannte Richtmeyer-Meshkov-Instabilit?t. Diese kennt man vor allem in der Astrophysik, sie entsteht, wenn eine Schockwelle auf die Grenzfl?che zwischen zwei verschiedenen Str?mungen trifft. ?Eine solche Instabilit?t ist heftig, ?hnlich wie eine Explosion?, erkl?rt Mishra. Wiederum zeigten die Simulationen und Analysen des Teams, dass die statistischen L?sungen vieler Simulationen mit zunehmender Aufl?sung konvergieren, wohingegen man mit einzelnen Simulationen ohne Konvergenz nicht weit kommt.

?Durch die Computersimulationen verstehen wir nun viel besser, was vor sich geht?, fasst Mishra zusammen. ?Wir konnten unsere Hypothese ¨¹ber den Nutzen statistischer L?sungen ¨¹berpr¨¹fen und dabei eine gewisse Intuition f¨¹r diese L?sungen entwickeln. Aber jetzt m¨¹ssen wir Papier und Bleistift in die Hand nehmen, um die Mathematik unserer Hypothese rigoros zu beweisen, also ein Theorem aufzustellen, das auf den grundlegenden Axiomen der Mathematik basiert.? F¨¹r einen Mathematiker wie Mishra ist dies unerl?sslich ¨C eine Art letzte, ¨¹bergeordnete Ebene der Wahrheit.