Le secret d'une bonne solution

Lorsqu'un mathématicien comme Mishra étudie un phénomène de la nature ou s'attaque à une question technique, il la considère d'abord comme un système. Tous ces systèmes, leur comportement, leur évolution et leurs changements peuvent être décrits mathématiquement sous la forme de certaines équations. Depuis leur invention par Isaac Newton (1642-1726) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), ces équations, particulièrement adaptées aux processus liés au mouvement et au changement, sont appelées équations différentielles. Elles sont centrales pour les recherches de Siddhartha Mishra.

Jeter des ponts pour des courants chaotiques

Mishra a réalisé deux de ses percées les plus extraordinaires sur les équations dites d'Euler : ces équations portent le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Il a con?u une classe importante d'équations aux dérivées partielles qui décrivent les écoulements tels qu'ils se produisent par exemple autour d'une aile d'avion. Mishra a résolu une question des équations d'Euler qui était restée ouverte pendant 30 ans, en proposant un nouvel algorithme pour une méthode d'approximation. En outre, il a développé une approche de résolution de certaines équations d'Euler qui permet de déterminer plus précisément la dynamique des écoulements instables, chaotiques et turbulents.

Pour ses recherches dans le domaine des équations aux dérivées partielles non linéaires, Siddhartha Mishra a re?u le prix de l'excellence. Prix R?ssler 2023 de l'université. En outre, le prix de recherche le mieux doté de l'ETH Zurich reconna?t que Mishra jette un pont entre les mathématiques fondamentales et leur application dans la recherche et l'industrie. Il a par exemple con?u des algorithmes robustes et efficaces permettant de résoudre des équations aux dérivées partielles non linéaires. Simuler plus rapidement et plus précisément sur des superordinateurs laisser faire. Ces simulations ouvrent de nouvelles voies pour résoudre des problèmes réels dans des domaines de recherche tels que l'astrophysique, la physique solaire, la géophysique, la dynamique du climat et la biologie.

Des équations abstraites pour des problèmes réels

Les problèmes réels sont l'alpha et l'oméga de la recherche de Siddhartha Mishra : "Les phénomènes sur lesquels je travaille ont un impact réel sur le monde", dit Mishra, "et comprendre les effets des changements est la clé pour appréhender les processus physiques et techniques dans le monde réel."Les questions typiques pour ses recherches sont par exemple : "Dans quelle mesure la résistance à l'air est-elle réduite si la forme de l'aile d'un avion est modifiée d'une certaine manière ? Et combien d'émissions de carbone peut-on économiser en rendant la forme plus aérodynamique ? Orientation vers les applications. Il collabore régulièrement avec des chercheurs en ingénierie et avec l'industrie. Il a par exemple développé avec des chercheurs de l'Empa des algorithmes rapides pour simuler un procédé de fabrication industrielle additive pour l'impression 3D. Les algorithmes de Mishra permettent de positionner en temps réel un rayon laser de manière à ce qu'il fraise la forme souhaitée dans un bloc de métal.

"Ce qui est étonnant avec les mathématiques, c'est comment leurs équations abstraites permettent toujours de trouver de nouvelles solutions et des applications très pertinentes pour l'économie et la société", explique Max R?ssler, le fondateur du prix R?ssler, qui a lui-même étudié les mathématiques à l'ETH Zurich, a obtenu un doctorat sur les calculs de trajectoire dans l'espace et a enseigné à l'Institut de recherche opérationnelle. "Ses recherches démontrent de manière impressionnante l'incroyable applicabilité des mathématiques, dans la mesure où ses équations soutiennent par exemple des prévisions sur la météo, les tremblements de terre ou les tsunamis, ou encore permettent des applications productives comme l'impression 3D avec des métaux dans la fabrication industrielle."

Approches des relations complexes

En règle générale, les équations aux dérivées partielles non linéaires étudiées par Mishra se rapportent à des phénomènes réels qui - comme les nuages, les tornades ou les tempêtes solaires - sont très complexes et multiples et comportent de nombreuses dépendances, interactions et incertitudes. Ces problèmes sont souvent si complexes qu'ils ne peuvent pas être entièrement décrits par des équations simples. Une solution satisfait alors une équation si, en y insérant des valeurs concrètes, elle produit une affirmation vraie, conforme aux faits mesurés.

Face à des phénomènes naturels multidimensionnels très complexes, un mathématicien comme Mishra travaille avec des approximations des solutions des équations. Souvent, il est même impossible de résoudre les problèmes du monde réel sans recourir à des méthodes d'approximation. "La nature elle-même et les équations avec lesquelles nous modélisons la nature sont très souvent trop complexes pour permettre finalement autre chose que des approximations", dit Mishra, "d'une certaine manière, toutes les mathématiques sont des approximations, comme le disaient déjà les Grecs de l'Antiquité et les mathématiciens indiens du premier siècle".

Aujourd'hui, les mathématiciens et mathématiciennes comme Mishra sont assistés par de puissants ordinateurs. "Les superordinateurs peuvent résoudre approximativement les équations différentielles des systèmes complexes", explique Mishra. Le prix R?ssler est également décerné à Mishra pour avoir formulé très soigneusement les solutions approximatives "plus faibles" et les avoir transposées dans des algorithmes. La qualité de ses algorithmes réside dans le fait qu'ils préservent particulièrement bien la structure d'une équation mathématique et augmentent ainsi la précision des simulations. Cependant, pour Mishra, les méthodes d'approximation numérique n'ont pas seulement une utilité pratique, elles jouent également un r?le fondamental pour prouver la validité, le domaine d'application et l'effet d'une équation.

L'apprentissage automatique au service de la rapidité et de la précision

Récemment, Siddhartha Mishra, membre du ETH AI Centers a commencé à concevoir des algorithmes d'apprentissage automatique très performants. Au début, il s'agissait de réduire le temps de calcul des simulations. Aujourd'hui, de plus en plus de questions se posent sur la manière dont l'apprentissage automatique pourrait augmenter la précision d'une simulation et résoudre des problèmes jusqu'ici insolubles.

Mishra a déjà quelques exemples à présenter en ce qui concerne l'accélération du temps de calcul à l'aide de l'apprentissage automatique :

• Dans le cas du procédé d'impression 3D des métaux, son approche a permis de réduire le temps de calcul de la simulation d'environ quatre heures à un dixième de seconde (0,1 s).
• Pour un système d'alerte précoce aux tsunamis, le temps de calcul avec l'approche d'apprentissage de Mishra est d'environ un centième de seconde (10^-2s). Auparavant, il fallait environ une heure pour prédire, à partir de l'événement sismique, comment un tsunami allait se développer et se propager.

"Les simulations avec apprentissage automatique ne doivent pas seulement être dix fois plus rapides, mais dix mille à cent mille fois plus rapides", explique Mishra. Un exemple de la manière dont les algorithmes d'apprentissage augmentent la précision d'une simulation provient de la recherche géophysique. En collaboration avec Yunan Yang, qui a effectué ses dernières recherches à l'Institut d'études théoriques, et d'autres collaborateurs, il a proposé un nouvel algorithme d'apprentissage automatique pour déterminer les propriétés géophysiques sous la surface par imagerie sismique, c'est-à-dire en émettant des ondes sismiques dans le sol et en enregistrant leur retour dans les stations de mesure en surface. Les algorithmes de Mishra et Yang sont quatre à cinq fois plus rapides que les algorithmes précédents, et ils sont également deux à quatre fois plus précis.

Mishra s'inspire également de la physique pour ses algorithmes d'apprentissage automatique : d'une part, il utilise l'apprentissage automatique pour des questions de physique. D'autre part, il utilise des principes et des concepts physiques pour développer des systèmes d'apprentissage automatique plus performants, plus robustes et plus fiables - par exemple, pour affiner l'imagerie en neurologie.